soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri

Variasisoal tentang limit trigonometri begitu banyak. Keterampilan menentukan nilai limit trigonometri bisa mudah dengan cara banyak mengerjakan latihan soal tentang limit fungsi trigonometri. Walaupun soal yang diberikan bervariasi, akan tetapi jika sudah menangkap konsepnya maka untuk jenis soal apapun bisa dengan mudah untuk diselesaikan. Matematikastudycentercom- Kumpulan bank soal latihan persiapan semester 2 materi turunan fungsi trigonometri matematika kelas 11 SMA untuk paket ujian blok atau ulangan harian kenaikan kelas. Soal No. 1 Diketahui fungsi f (x) = sin 5x. Jika f' (x) adalah turunan pertama dari f (x), maka f ' (x) =. A. − 5 cos 5x B. − 1/5 cos 5x C. − cos 5x SoalDan Pembahasan Turunan Trigonometri. Y 5 sin x y 5 cos x soal nomor 2 diberikan fungsi f x 3 cos x tentukan nilai dari f π 2. Soal dan pembahasan persamaan trigonometri persamaan trigonometri didefinisikan sebagai persamaan yang melibatkan perbandingan trigonometri seperti sinus cosinus tangen dan sebagainya. Soaldan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri. Rumus-rumus yang hendak dipakai dalam penyelesaian turunan fungsi trigonometri yaitu selaku berikut: 1. Jika Contohsoal trigonometri kelas 10 dan pembahasannya pilihan ganda. Rumus-rumus yang akan digunakan dalam penyelesaian turunan fungsi trigonometri adalah sebagai berikut. Masih tidak yakin dengan jawabannya. Contoh soal dan pembahasan tentang trigonometri contoh soal dan pembahasan tentang rumus perbandingan sinus cosinus dan tangen. Rencontre De Femme Celibataire Sur Facebook. Hai Quipperian, saat mendengar istilah turunan pasti kamu akan berpikir jalanan yang menurun kan? Siapa sangka, di dalam Matematika juga terdapat turunan, lho. Jika turunan ini dikenakan pada fungsi trigonometri, maka turunannya disebut turunan fungsi trigonometri. Apa yang dimaksud turunan fungsi trigonometri? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya! Pengertian Turunan Fungsi Trigonometri Sebelum memahami pengertian turunan fungsi trigonometri, kamu harus tahu dulu apa itu fungsi trigonometri. Fungsi trigonometri adalah suatu fungsi yang memuat variabel x di bagian sinus, cosinus, serta tangennya. Dengan syarat, perbandingannya sinus, cosinus, dan tangen harus terletak di bagian basis, bukan sebagai pangkat. Perhatikan contoh berikut. Lantas, apa yang dimaksud turunan fungsi trigonometri? Turunan fungsi trigonometri adalah suatu proses turunan matematis yang melibatkan fungsi trigonometri. Proses turunan pada fungsi ini bisa berlangsung dua kali jika koefisiennya lebih dari satu. Perhatikan contoh berikut. fx = cos2x …. 1 Untuk menurunkan fungsi di atas, kamu harus melakukan dua kali turunan, yaitu turunan terhadap cosinus dan 2x. Semakin rumit komposisi variabelnya, semakin panjang pula proses penurunannya. fx = cos2x2 + 3x …. 2 Persamaan 1 memiliki variabel yang lebih sederhana dibandingkan persamaan 2. Pada persamaan 1, kamu hanya perlu menurunkan kosinus dan 2x saja. Namun, pada persamaan 2, kamu harus menurunkan cosinus, 2x2, dan 3x. Tak perlu khawatir, ya, karena Quipper Blog akan membantumu untuk memahami konsep turunan ini. Apa Saja Turunan Fungsi Trigonometri? Saat belajar trigonometri, kamu sudah mengenal istilah sinus, kosinus, dan tangen kan? Nah turunan fungsi trigonometri juga termasuk ketiganya, yaitu turunan terhadap fungsi sinx, turunan terhadap cosx, turunan terhadap tanx, turunan terhadap secx, dan turunan terhadap cosecx. Dalam penerapannya, fungsi ini bisa dikembangkan layaknya fungsi aljabar, misalnya fungsi komposisi yang memuat trigonometri. Apa Saja Rumus Turunan Fungsi Trigonometri? Kamu pasti sudah paham kan dengan konsep turunan secara umum? Misalnya, jika fx = 2x diturunkan terhadap x, akan dihasilkan f’x = 2, jika fx = 2x2 diturunkan terhadap x, akan dihasilkan f’x = 4x. Nah, seperti apa contoh turunan fungsi trigonometri? 1. Turunan terhadap fungsi sinx Jika fungsi yang memuat sinx diturunkan terhadap x, akan dihasilkan fungsi cosx. Perhatikan contoh berikut. fx = sinx → f’x = cosx 2. Turunan terhadap fungsi cosx Jika fungsi yang memuat cosx diturunkan terhadap x, akan dihasilkan fungsi -sinx. Perhatikan contoh berikut. fx = cosx → f’x = -sinx Untuk memudahkan kamu mengingat, simak urutan SUPER “Solusi Quipper” berikut ini. Tanda panah menunjukkan hasil turunannya. Turunan fungsi sinus dan cosinus di atas merupakan dasar yang nantinya akan kamu gunakan untuk menyelesaikan soal-soal terkait turunan fungsi trigonometri. Mungkin kamu bertanya-tanya, padahal kan fungsi trigonometri itu beragam jenisnya, ada yang tanx, cosecx, dan secx. Bagaimana menyelesaikannya? Berikut ini tabel rumus turunan trigonometri yang bisa kamu jadikan acuan belajar, ya. NoFungsi fxHasil turunan f’x1sinxcosx2cosx-sinx3tanxsec2x4cotx-cosec2x5secxsecx . tanx6cosecx-cosecx . cotanx7sinax + bacosax + b8cosax + b-asinax + b9k . sinnax + bk . na . sinn – 1 ax + b.cosax + b10k . cosnax + b-k . na . cosn – 1 ax + b.sinax + b11 Selain rumus pada tabel di atas, kamu juga harus mengenal beberapa rumus identitas untuk memudahkan penyelesaian soal-soal fungsi trigonometri. ⇒ Rumus identitas perbandingan ⇒Rumus identitas Pythagoras sin2nx + cos2nx = 1 tan2 + 1 = sec2nx tan2 + 1 = cosec22nx ⇒Rumus sinus sudut rangkap ⇒Kosinus sudut rangkap Sifat Turunan Fungsi Trigonometri Apakah kamu masih ingat sifat turunan fungsi aljabar? Ternyata, sifat turunan fungsi trigonometri juga sama dengan sifat turunan aljabar, lho. Bedanya, pada fungsi trigonometri kamu juga harus menurunkan si trigonometrinya sendiri. Apa iya sih sifat kedua jenis fungsi ini sama? Yuk, kita buktikan. Sifat turunan fungsi aljabar Sifat turunan fungsi trigonometri Seperti kamu ketahui, tanx merupakan perbandingan antara sinx dan cosx. Dengan mengacu pada sifat turunan fungsi aljabar di atas, diperoleh Terbukti kan, jika sifat turunan fungsi aljabar juga berlaku pada fungsi trigonometri? Contoh Turunan Fungsi Trigonometri? Adapun contoh turunan fungsi trigonometri adalah sebagai berikut. Diketahui fx = sin2x + 10, bagaimanakah bentuk turunan fungsinya? Mula-mula, kamu harus menurunkan fungsi di dalam kurung, 2x + 10. Hasil turunannya adalah 2 Selanjutnya, turunkan perbandingan sinusnya. Hasil turunannya adalah cos. Mengacu pada rumus nomor 7 pada tabel, yaitu fx = sinax + c yang memiliki turunan f’x = a cosax + c, diperoleh fx = sin2x + 10 → f’x = 2cos2x + 10 Lantas, bagaimana jika bentuk fungsinya memuat perbandingan berpangkat, misalnya fx = 2sin25x2 + 6? Untuk mencari turunannya, kamu bisa menggunakan rumus nomor 9, yaitu fx = k . sinnax + b dengan hasil turunan f’x = k . na . sinn – 1 ax + b.cosax + b. Dengan demikian, diperoleh fx = 2sin25x2 + 6 f’x = 2 2 10x sin5x2 + 6cos5x2 + 6 Jadi, turunan dari fx = 2sin25x2 + 6 adalah f’x = 2 2 10x sin5x2 + 6cos5x2 + 6. Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-Hari Adapun aplikasi turunan fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut. Menentukan jarak optimal antara tempat duduk dan layar bioskop. Menentukan papan terpendek untuk menopang pagar atau sejenisnya. Mencari kemiringan grafik yang bersinggungan dengan garis lurus di suatu titik. Memperkirakan puncak arus mudik lebaran, sehingga bisa mengantisipasi terjadinya kemacetan. Memperkirakan waktu optimal untuk produksi suatu barang, sehingga bisa mendapatkan penjualan yang optimal pula. Memperkirakan suhu terendah dan tertinggi di negara empat musim. Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri Untuk mengasah pemahamanmu tentang materi kali ini, yuk simak contoh soal berikut. Contoh Soal 1 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut. Pembahasan Mula-mula, kamu harus menguraikan fungsi tersebut menurut rumus yang umum berlaku. Dalam hal ini, gunakan rumus identitas kebalikan dan perbandingan. Lalu, turunkan bentuk penyederhanaan fungsi di atas. f x = 3sin x = tan x ⇔ fx = 3cos x – sec2 x Jadi, turunan fx=3cos⁡x-1/cos⁡x adalah fx = 3cos x – sec2 x Contoh Soal 2 Diketahui fx= Tentukan turunan pertama dari fungsi tersebut? Pembahasan Dari fungsi di atas, kamu dapat memisalkan sebagai berikut. Misal ux = 2x4 → u’x = 8x3 vx = tan5x → v’x = 5sec25x Untuk mencari turunan pertamanya, gunakan sifat turunan fungsi aljabar berikut. fx = ux.vx ⇒ fx = ux.vx+ux.vx Dengan demikian Jadi, turunan pertama dari fx= adalah f’x = 2x34 tan5x + 5xsec25x. Contoh Soal 3 Diketahui fx=x +8πx dan gx=f’x-√3f”x. Berapakah nilai x yang memenuhi g’x = 0, dengan 0 ≤ x ≤ π? Pembahasan Mula-mula, kamu harus menentukan turunan pertama dan kedua fx. fx = sinx +8πx f'x = cos cos x +8π f”x = x Lalu, substitusikan f’x dan f’’x ke persamaan gx. Selanjutnya, tentukan turunan pertama dari gx. Jika, g’x = 0, berlaku Berdasarkan persamaan trigonometri untuk tangen, diperoleh Jadi, nilai x yang memenuhi adalah π/3 Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk melihat materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper! Turunan fungsi aljabar merupakan salah satu subbab dari kalkulus diferensial. Di sini, kita akan mempelajari tentang aturan-aturan turunan pada fungsi aljabar. Lebih lanjut, aturan turunan tersebut selanjutnya diterapkan untuk menyelesaikan persoalan fungsi trigonometri. Di sesi ini, kita khusus membahas soal mengenai turunan fungsi aljabar. Soal-soal dikumpulkan dari berbagai literatur dengan tingkat kesulitan yang variatif untuk meningkatkan dan menguji pemahaman pembaca. Soal juga dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut Download PDF, 280 KB. Aturan Turunan Berikut ini merupakan beberapa aturan turunan dasar yang selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan persoalan turunan fungsi aljabar. Aturan turunan fungsi konstan Jika $y = fx = c$ dengan $c \in \mathbb{R}$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0$. Aturan turunan fungsi identitas Jika $y = fx = x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1.$ Aturan turunan fungsi pangkat Jika $y = fx = x^n$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = nx^{n-1}.$ Aturan turunan fungsi berbentuk $y = ax^n$ Jika $y = fx = ax^n$ untuk suatu $a \in \mathbb{R}$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = anx^{n-1}.$ Turunan jumlah dan selisih fungsi-fungsi Jika $fx = y = u \pm v$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = u’ \pm v’.$ Secara verbal turunan dari jumlah/selisih fungsi-fungsi sama dengan jumlah/selisih dari turunan masing-masing fungsi tersebut. Aturan hasil kali dalam turunan Jika $fx = y = u \cdot v$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = u’ \cdot v + u \cdot v’.$ Jika $fx = y = u \cdot v \cdot w$ dengan $u$, $v$, dan $w$ keduanya fungsi dari $x$, maka $$\begin{aligned} f'x & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ & = u \cdot v \cdot w’ + u \cdot v’ \cdot w + u’ \cdot v \cdot w \end{aligned}$$ Aturan hasil bagi dalam turunan Jika $fx = y = \dfrac{u}{v}$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{u’ \cdot v-u \cdot v’}{v^2}.$ Baca Juga Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan Dasar Quote by Pam Leo You cannot teach children to behave better by making them feel worse. When children feel better, they behave better. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Jika $fx=x^2-\dfrac{1}{x}+1$, maka $f'x= \cdots \cdot$ A. $x-x^{-2}$ B. $x+x^{-2}$ C. $2x+x^{-2}+1$ D. $2x-x^{-2}+1$ E. $2x+x^{-2}$ Pembahasan Gunakan aturan turunan dasar. $\begin{aligned} fx & =x^2-\dfrac{1}{x}+1 \\ & = x^2-x^{-1}+1 \\ f'x & = 2x^{2-1}-1x^{-1-1}+0 \\ & = 2x+x^{-2} \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{f'x = 2x+x^{-2}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 2 Jika $gx = \dfrac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}$, maka $g'x = \cdots \cdot$ A. $-\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}$ B. $-x^3+3x^2+\dfrac12\sqrt{2x}$ C. $\dfrac{1}{x^2}+x^2-2$ D. $\dfrac{1}{x^2}+3x^2-2$ E. $\dfrac{1}{x^2}+3x^2+\dfrac12\sqrt{2x}$ Pembahasan Gunakan aturan turunan dasar. $$\begin{aligned} gx & = \dfrac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x} \\ & = x^{-1}+x^3-\sqrt{2}x^{1/2} \\ g'x & = -1x^{-1-1}+3x^{3-1}-\sqrt{2} \cdot \dfrac12x^{1/2-1} \\ & = -x^{-2}+3x^2-\dfrac12\sqrt2x^{-1/2} \\ & = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt{x}} \\ & = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}} \end{aligned}$$Catatan $\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{1}{\sqrt2}$ Jadi, hasil dari $\boxed{g'x = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Soal Nomor 3 Jika $Rt = t\sqrt{t} + \dfrac{1}{t\sqrt{t}}$, maka $\dfrac{\text{d}Rt}{\text{d}t}$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $\dfrac32\sqrt{t} + \dfrac{3}{2\sqrt{t}}$ B. $\dfrac32\sqrt{t} -\dfrac{3}{2\sqrt{t}}$ C. $\dfrac32\sqrt{t} -\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}}$ D. $\dfrac23\sqrt{t} -\dfrac{1}{t^2\sqrt{t}}$ E. $\dfrac32\sqrt{t} + \dfrac{1}{t^2\sqrt{t}}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} Rt & = t\sqrt{t} + \dfrac{1}{t\sqrt{t}} = t \cdot t^{1/2} + \dfrac{1}{t \cdot t^{1/2}} \\ & = t^{3/2} + t^{-3/2} \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}Rt}{\text{d}t} & = \dfrac32t^{3/2-1}-\dfrac32t^{-3/2-1} \\ & = \dfrac32t^{1/2}-\dfrac32t^{-5/2} \\\\ & = \dfrac{3}{2}\sqrt{t}-\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}} \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{\text{d}Rt}{\text{d}t} = \dfrac{3}{2}\sqrt{t}-\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}}}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri Soal Nomor 4 Turunan pertama dari $fx=\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{6}{x}$ adalah $f'x$. Nilai dari $f'1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-5$ C. $4$ E. $10$ B. $2$ D. $5$ Pembahasan Gunakan aturan turunan dasar untuk mencari turunan pertama dari fungsi $fx$. $$\begin{aligned} fx & =\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{6}{x} \\ & = 4\underbrace{x-3}_{u}^{-1}-6x^{-1} \\ f'x & = 4-1x-3^{-2} \cdot \underbrace{1}_{u’}-6-1x^{-2} \\ & = -\dfrac{4}{x-3^2}+\dfrac{6}{x^2} \end{aligned}$$Substitusi $x=1$ dan kita akan peroleh $\begin{aligned} f'1 & = -\dfrac{4}{\color{blue}{1}-3^2}+\dfrac{6}{\color{blue}{1}^2} \\ & = -\dfrac{4}{4} + \dfrac{6}{1} \\ & = -1+6 = 5 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{f'1 = 5}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan Diferensial Soal Nomor 5 Turunan pertama dari $Hx = x^{2/3}4x-5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} + \dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$ B. $\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$ C. $\dfrac{10\sqrt[3]{x}}{3} -\dfrac{20}{3\sqrt[3]{x}}$ D. $\dfrac{-20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$ E. $\dfrac{4x-5}{3\sqrt[3]{x}} -\dfrac{4}{\sqrt[3]{x}}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} Hx & = x^{2/3}4x-5 \\ & = 4x^{2/3} \cdot x-5x^{2/3} \\ & = 4x^{5/3}-5x^{2/3}. \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} H'x & = 4 \cdot \dfrac53 \cdot x^{5/3-1}-5 \cdot \dfrac23 \cdot x^{2/3-1} \\ & = \dfrac{20}{3}x^{2/3}-\dfrac{10}{3}x^{-1/3} \\ & = \dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}. \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $Hx$ adalah $\boxed{\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Diberikan $fr = 2r^{\frac32}-2r^{\frac12}$. Nilai $f'1$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $5$ B. $1$ D. $4$ Pembahasan Diketahui $fr = 2r^{\frac32}-2r^{\frac12}.$ Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $fr$ adalah $\begin{aligned} f'r & = 2 \cdot \dfrac32r^{\frac32-1}-2 \cdot \dfrac12r^{\frac12-1} \\ & = 3r^{\frac12}-r^{-\frac12} \\ & = 3\sqrt{r}-\dfrac{1}{r}. \end{aligned}$ Untuk $r=1$, didapat $\boxed{f'1= 3\sqrt{1}-\dfrac{1}{1} = 3-1=2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui $y = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x-6$. Nilai $x$ yang membuat $y’ = 0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-1$ atau $1$ B. $-1$ atau $0$ C. $0$ atau $2$ D. $1$ atau $2$ E. $1$ atau $3$ Pembahasan Diketahui $y = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x-6.$ Turunan pertama dari $y$ adalah $\begin{aligned} y’ & = \dfrac133x^2-\dfrac322x+2-0 \\ & = x^2-3x+2. \end{aligned}$ Misalkan $y’ = 0$ sehingga diperoleh $\begin{aligned} x^2-3x+2 & = 0 \\ x-2x-1 & = 0 \\ x = 2~\text{atau}&~x = 1. \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang membuat $y’=0$ adalah $1$ atau $2$. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Jika $fm = 4 + \sqrt[4]{m^3} + 3 \sqrt[3]{m^2}$, maka nilai $f'1 = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{11}{4}$ C. $\dfrac74$ E. $\dfrac14$ B. $\dfrac{9}{4}$ D. $\dfrac54$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} fm & = 4 + \sqrt[4]{m^3} + 3 \sqrt[3]{m^2} \\ & = 4 + m^{3/4} + 3m^{2/3}. \end{aligned}$ Turunan pertama dari $fm$ adalah $$\begin{aligned} f'm & = 0 + \dfrac34m^{3/4-1} + \cancel{3} \cdot \dfrac{2}{\cancel{3}}m^{2/3-1} \\ & = \dfrac34m^{-1/4}+2m^{-1/3} \\ & = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{m}}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{m}}. \end{aligned}$$Untuk $m=1$, diperoleh $f'1 = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{1}}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{1}} = \dfrac34 + 2 = \dfrac{11}{4}.$ Jadi, nilai dari $\boxed{f'1=\dfrac{11}{4}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Jika turunan pertama dari $y = x^2+1x^3-1$ adalah $y’ = ax^4+bx^2+cx$ dengan $a,b,c \in \mathbb{Z},$ maka nilai dari $abc = \cdots \cdot$ A. $-60$ C. $0$ E. $60$ B. $-30$ D. $30$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} y & = x^2+1x^3-1 \\ & = x^5-x^2+x^3-1. \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} y’ & = 5x^{5-1}-2x^{2-1}+3x^{3-1}-0 \\ & = 5x^4-2x+3x^2 \\ & = 5x^4+3x^2-2x. \end{aligned}$ Karena itu, kita peroleh $a = 5$, $b = 3$, dan $c = -2$. Catatan $\mathbb{Z}$ menyatakan simbol untuk himpunan bilangan bulat. Jadi, $\boxed{abc = 53-2 = -30}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 10 Turunan pertama dari $fx=x^23x-1^3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x15x+23x-1^2$ B. $x15x-23x-1^2$ C. $x9x+23x-1^2$ D. $x18x+23x-1^2$ E. $x18x-23x-1^2$ Pembahasan Diketahui $fx=x^23x-1^3.$ Gunakan aturan turunan dasar terutama aturan hasil kali dan aturan rantai. Misalkan $$\begin{aligned} u & = x^2 \implies u’ = 2x \\ v & = \underbrace{3x-1}_{p}^3 \implies v’ = 33x-1^2\underbrace{3}_{p’} = 93x-1^2. \end{aligned}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh $$\begin{aligned} f'x & = u’v+uv’ \\ & = 2x3x-1^3+x^293x-1^2 \\ & = 3x-1^22x3x-1+9x^2 \\ & = 3x-1^26x^2-2x+9x^2 \\ & = 3x-1^215x^2-2x \\ & = x15x-23x-1^2. \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari $fx$ adalah $\boxed{x15x-23x-1^2}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 11 Jika $y = x\sqrt{2x^2+3}$, maka $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\cdots \cdot$ A. $4x^2-32x^2+3^{-1/2}$ B. $4x^2+32x^2+3^{-1/2}$ C. $2x2x^2+32x^2+3^{-1/2}$ D. $x2x+32x^2+3^{-1/2}$ E. $2x^2+3^{1/2}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} y & = x\sqrt{2x^2+3} \\ & = \sqrt{x^22x^2+3} \\ & = \sqrt{2x^4+3x^2} \\ & = \underbrace{2x^4+3x^2}_{u}^{1/2} \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertama $y$, yaitu $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac122x^4+3x^2^{-1/2} \cdot \underbrace{8x^3+6x}_{u’} \\ & = \dfrac1224x^3+3x2x^4+3x^2^{-1/2} \\ & = 4x^3+3x2x^4+3x^2^{-1/2} \\ & = x4x^2+3 \cdot \dfrac{1}{x}2x^2+3^{-1/2} \\ & = 4x^2+32x^2+3^{-1/2} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=4x^2+32x^2+3^{-1/2}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 12 Jika $fx = \sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}$ dengan $x \neq 1,$ maka $f'x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{6x-6}{\sqrt{2x-1^3}}$ B. $\dfrac{-3}{2x-1^{3/2}\sqrt{x+2}}$ C. $2x\sqrt{1-x^2}-\dfrac{xx^2+3}{\sqrt{1-x^2}}$ D. $-\dfrac{9}{4\sqrt{3x+2^3}}$ E. $\dfrac{3x^2-4}{2\sqrt{x^3-4x}}$ Pembahasan Diketahui $fx = \sqrt{\underbrace{\dfrac{x+2}{x-1}}_{p}}.$ Pertama, kita akan mencari turunan dari $p$ terlebih dahulu menggunakan aturan hasil bagi. Misalkan $u = x+2 \implies u’ = 1$ $v = x-1 \implies v’ = 1$ Turunan dari $p$ adalah $\begin{aligned} p’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{1x-1-x+21}{x-1^2} \\ & = \dfrac{x-1-x-2}{x-1^2} \\ & = \dfrac{-3}{x-1^2}. \end{aligned}$ Sekarang, akan dicari turunan $fx$ menggunakan aturan rantai. $$\begin{aligned} fx & = \left\underbrace{\dfrac{x+2}{x-1}}_{p}\right^{1/2} \\ \implies f'x & = \dfrac12\left\dfrac{x+2}{x-1}\right^{-1/2} \cdot \underbrace{\dfrac{-3}{x-1^2}}_{p’} \\ & = \dfrac12 \cdot \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} \cdot \dfrac{-3}{x-1^2} \\ & = \dfrac{-3}{2x-1^{3/2}\sqrt{x+2}} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{f'x = \dfrac{-3}{2x-1^{3/2}\sqrt{x+2}}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui $fx = x.$ Jika turunan pertamanya adalah $f'x$, maka nilai dari $f'999 = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $\dfrac{1}{999}$ E. $999$ B. $1$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $y = fx = x.$ Akan dicari turunan dari $y$. $\begin{aligned} y & = x \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ y^2 & = x^2 \\ 2y \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2x \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{x}{y} = \dfrac{x}{x} \end{aligned}$ Untuk $x = 999$, diperoleh $\boxed{f'999 = \dfrac{999}{999} = 1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 14 Turunan pertama dari $y=2x+1^5x+1$ ditulis sebagai $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$. Jika $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = ax+b^4cx+d$ dengan $a,b,c,d$ merupakan bilangan bulat positif, maka nilai dari $a+b+c+d = \cdots \cdot$ A. $20$ C. $26$ E. $29$ B. $24$ D. $27$ Pembahasan Diketahui $y=2x+1^5x+1.$ Gunakan aturan turunan dasar terutama aturan hasil kali dan aturan rantai. $$\begin{aligned} u & = \underbrace{2x+1}_{p}^5 \implies u’ = 52x+1^4\underbrace{2}_{p’} = 102x+1^4 \\ v & = x+1 \implies v’ = 1 \end{aligned}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh $$\begin{aligned} y’ & = u’v+uv’ \\ & = 102x+1^4x+1 + 2x+1^51 \\ & = 2x+1^410x+1+2x+1 \\ &= 2x+1^410x+10+2x+1 \\ & = 2x+1^412x+11 \end{aligned}$$Karena diketahui $y’ = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = ax+b^4cx+d$, didapat $a = 2$, $b=1$, $c=12$, dan $d=11$ sehingga $$\boxed{a+b+c+d=2+1+12+11=26}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 15 Turunan pertama dari invers fungsi $fx = \dfrac{x-1}{2}$ adalah $\dfrac{\text{d}f^{-1}x}{\text{d}x} = \cdots \cdot$ A. $-2$ C. $-\dfrac12$ E. $2$ B. $-1$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac{x-1}{2}$. Pertama, akan dicari invers fungsi $fx$ terlebih dahulu. Misalkan $fx = y$. $\begin{aligned} y & = \dfrac{x-1}{2} \\ 2y & = x-1 \\ 2y+1 & = x \\ 2y+1 & = f^{-1}y \\ 2x+1 & = f^{-1}x \end{aligned}$ Jadi, invers fungsi $fx$ adalah $f^{-1}x = 2x + 1$. Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan dasar turunan, yaitu $\boxed{\dfrac{\text{d}f^{-1}x}{\text{d}x} = 2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 16 Invers dari turunan pertama fungsi $fx=3x^2+4x-2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{x-4}{6}$ D. $\dfrac{6}{x+4}$ B. $\dfrac{x+4}{6}$ E. $\dfrac{x-4}{x+4}$ C. $\dfrac{6}{x-4}$ Pembahasan Diketahui $fx = 3x^2+4x-2.$ Pertama, kita akan mencari turunan pertamanya dulu. $\begin{aligned} f'x & = 32x^{2-1}+41x^{1-1}-0 \\ & = 6x + 4 \end{aligned}$ Selanjutnya, kita akan mencari invers dari $f'x = 6x + 4$. Misalkan $f'x = y$ sehingga $\begin{aligned} y & = 6x + 4 \\ y-4 & = 6x \\ x & = \dfrac{y-4}{6} \\ f^{-1′}y & = \dfrac{y-4}{6} \\ f^{-1′}x & = \dfrac{x-4}{6}. \end{aligned}$ Jadi, invers dari turunan pertama $fx$ adalah $\boxed{\dfrac{x-4}{6}}$ Jawaban A [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi Soal Nomor 17 Jika $Px = \sqrt[3]{x}$, maka $Px-3xP'x$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2 \sqrt[3]{x}$ E. $x \sqrt[3]{x}$ B. $1$ D. $3 \sqrt[3]{x}$ Pembahasan Diketahui $Px = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Turunan pertama dari $Px$ adalah $P'x = \dfrac13x^{1/3-1} = \dfrac13x^{-2/3}.$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} Px-3xP'x & = \sqrt[3]{x}-\cancel{3}x \cdot \dfrac{1}{\cancel{3}}x^{-2/3} \\ & = \sqrt[3]{x}-x^{-2/3+1} \\ & = \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x} = 0. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{Px-3xP'x = 0}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 18 Jika $f\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right = x^2+x-2$, maka nilai dari $f'1 = \cdots \cdot$ A. $-49$ C. $0$ E. $49$ B. $-7$ D. $7$ Pembahasan Diketahui $f\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right = x^2+x-2.$ Pertama, kita cari turunan dari $p = \dfrac{x-3}{2x+1}$ menggunakan aturan hasil bagi. Misalkan $u = x-3 \implies u’ = 1$ $v = 2x+1 \implies v’ = 2$ Dengan demikian, $\begin{aligned} p’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{12x+1-x-32}{2x+1^2} \\ & = \dfrac{2x+1-2x+6}{2x+1^2} \\ & = \dfrac{7}{2x+1^2}. \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan rantai, kita akan mencari turunan dari $fx$. $$\begin{aligned} f\left\underbrace{\dfrac{x-3}{2x+1}}_{p}\right & = x^2+x-2 \\ \implies f’\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right \cdot \underbrace{\dfrac{7}{2x+1^2}}_{p’} & = 2x+1 \end{aligned}$$ Kita akan mencari nilai $f'1$ yang berarti $\begin{aligned} \dfrac{x-3}{2x+1}& =1 \\ x-3 & = 2x+1 \\ x & = -4. \end{aligned}$ Substitusi $x = -4$ pada $f’\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right \cdot \dfrac{7}{2x+1^2} = 2x+1$ dan kita akan memperoleh $$\begin{aligned} f’\left\dfrac{-4-3}{2-4+1}\right \cdot \dfrac{7}{2-4+1^2} & = 2-4+1 \\ f'1 \cdot \dfrac{7}{49} & = -7 \\ f'1 & = -7 \times 7 = -49. \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{f'1 = -49}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 19 Jika $f \circ g'x = g \circ f'x$, $g2 = g'2 = 2$ dan $f2 = 1$, maka nilai dari $g'1 = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $3$ E. $5$ B. $2$ D. $4$ Pembahasan Diberikan $g2 = g'2 = 2$ dan $f2 = 1.$ Gunakan aturan rantai. $\begin{aligned} f \circ g'x & = g \circ f'x \\ [fgx]’ & = [gfx]’ \\ f'gx \cdot g'x & = g'fx \cdot f'x \end{aligned}$ Sekarang, substitusi $x = 2$. $\begin{aligned} f'g2 \cdot g'2 & = g'f2 \cdot f'2 \\ \cancel{f'2} \cdot 2 & = g'1 \cdot \cancel{f'2} \\ 2 & = g'1 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{g'1 = 2}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun Soal Nomor 20 Laju perubahan fungsi $fx = x^2-3^2$ pada $x=2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $8$ C. $5$ E. $1$ B. $6$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $fx = x^2-3^2 = x^4-6x^2+9$. Laju perubahan fungsi pada saat $x=2$ dinyatakan oleh nilai turunan pertama $fx$ saat $x = 2$, atau secara matematis, $f'2$. Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} fx &= 4x^{4-1}-62x^{2-1}+0 \\ & = 4x^3-12x \end{aligned}$ Untuk $x=2$, diperoleh $\boxed{f'2 = 42^3-122 = 32-24 = 8}$ Jadi, laju perubahan fungsi $fx$ pada saat $x=2$ adalah $\boxed{8}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 21 Sebuah persegi dengan sisi $x$ memiliki luas $fx$. Nilai $f'6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $36$ C. $10$ E. $6$ B. $12$ D. $8$ Pembahasan Luas persegi itu dinyatakan oleh $fx = x \cdot x = x^2$. Turunan pertama $fx$ adalah $f'x = 2x$. Substitusi $x = 6$ dan kita akan memperoleh $\boxed{f'6 = 26=12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 22 Besar populasi di suatu daerah $t$ tahun mendatang ditentukan oleh persamaan $pt = 10^3t^2-5 \cdot 10^2t + 10^6$. Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\cdots \cdot$ A. $ jiwa per tahun B. $ jiwa per tahun C. $ jiwa per tahun D. $ jiwa per tahun E. $ jiwa per tahun Pembahasan Diketahui $pt = 10^3t^2-5 \cdot 10^2t + 10^6$. Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang dinyatakan oleh nilai turunan pertama $pt$ saat $t = 5$. Turunan pertamanya adalah $p't= 10^32t-5 \cdot 10^2.$ Substitusi $t = 5$ dan kita akan memperoleh $\begin{aligned} p'5 & = 10^325-5 \cdot 10^2 \\ & = = \end{aligned}$ Jadi, laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\boxed{ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Dua bilangan bulat $m$ dan $n$ memenuhi hubungan $2m-n=40$. Nilai minimum dari $p=m^2+n^2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $320$ D. $260$ B. $295$ E. $200$ C. $280$ Pembahasan Diketahui $2m-n=40$. Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $n = 2m-40$. Karena $p=m^2+n^2$, haruslah $\begin{aligned} p & = m^2+2m-40^2 \\ & = m^2 + 4m^2-160m+1600 \\ & = 5m^2-160m+1600. \end{aligned}$ Agar $p$ minimum, turunan pertama $p$ terhadap variabel $m$ harus bernilai $0$. $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}p}{\text{d}m} & = 0 \\ 10m-160 & = 0 \\ 10m & = 160 \\ m & = 16 \end{aligned}$ $p$ akan minimum saat $m = 16$. Ini berarti nilai $\begin{aligned} p & = 5m^2-160m+1600 \\ & = 516^2-16016+1600 \\ & = 1280-2560+1600 \\ & = 320. \end{aligned}$ Jadi, nilai minimum dari $p$ adalah $\boxed{320}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 24 Jumlah dua bilangan $p$ dan $q$ adalah $6$. Nilai minimum dari $2p^2+q^2 = \cdots \cdot$ A. $12$ C. $20$ E. $32$ B. $18$ D. $24$ Pembahasan Diketahui $p+q = 6$. Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $q = 6-p$. Misalkan $z = 2p^2+q^2$, maka $\begin{aligned} z & = y^2+6-p^2 \\ & = 2p^2 + 36-12p+p^2 \\ & = 3p^2-12p+36. \end{aligned}$ Agar $z$ minimum, turunan pertama $z$ terhadap variabel $p$ harus bernilai $0$. $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}z}{\text{d}p} & = 0 \\ 6p-12 & = 0 \\ 6p & = 12 \\ p & = 2 \end{aligned}$ $z$ akan minimum saat $p = 2$. Ini berarti kita peroleh $\begin{aligned} z & = 3p^2-12p+36 \\ & = 32^2-122+36 \\ & = 12-24+36 \\ & = 24. \end{aligned}$ Jadi, nilai minimum dari $2p^2-q^2$ adalah $\boxed{24}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 25 Jumlah $2$ bilangan bulat positif $x$ dan $y$ adalah $18$. Nilai maksimum dari $xy$ adalah bilangan dua-digit $\overline{ab}$. Hasil dari $a \times b = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $12$ E. $24$ B. $8$ D. $16$ Pembahasan Diketahui $x+y = 18$. Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $y = 18-x$. Misalkan $z = xy$, maka $\begin{aligned} z & = x18-x \\ & = 18x-x^2. \end{aligned}$ Agar $z$ maksimum, turunan pertama $z$ terhadap variabel $x$ harus bernilai $0$. $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} & = 0 \\ 18-2x & = 0 \\ 2x & = 18 \\ x & = 9 \end{aligned}$ $z$ akan maksimum saat $x = 9$. Ini berarti nilai $\begin{aligned} z & = 18x-x^2 \\ & = 189-9^2 \\ & = 918-9 \\ & = 81. \end{aligned}$ Jadi, nilai maksimum dari $xy$ adalah $\overline{ab} = 81,$ artinya $a = 8$ dan $b = 1$ sehingga $\boxed{a \times b = 8 \times 1 = 8}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan Soal Nomor 26 Misalkan $hx = 5 + fx^2$ dengan grafik $fx$ diberikan pada gambar di bawah. Nilai $h'0 = \cdots \cdot$ A. $-16$ C. $-5$ E. $-\dfrac13$ B. $-7$ D. $-\dfrac43$ Pembahasan Diketahui $hx = 5 + fx^2.$ Turunan pertama $hx$ dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai. $\begin{aligned} h'x & = 0 + 2fx \cdot f'x \\ & = 2fx \cdot f'x \end{aligned}$ Jika $x = 0$, diperoleh $h'0 = 2f0 \cdot f'0.$ Nilai fungsi $f$ saat $x = 0$ adalah $f0 = 2$ lihat grafik. $f'0$ menyatakan gradien garis singgung $fx$ di titik $x = 0$. Tampak pada grafik bahwa garis singgung $fx$ di titik tersebut melalui $-1, 6$ dan $0, 2$ sehingga gradiennya adalah $f'0 = m = \dfrac{6-2}{-1-0} = -4$. Untuk itu, $\begin{aligned} h'0 & = 2f0 \cdot f'0 \\ & = 22-4 = -16 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{h'0 = -16}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 27 Diketahui grafik kurva $y = fx$ seperti pada gambar di bawah. Jika $hx = f \circ fx$ dan $h'x$ menyatakan turunan pertama dari $hx$, maka nilai $h'-2 = \cdots \cdot$ A. $-2$ C. $0$ E. $2$ B. $-1$ D. $1$ Pembahasan Berdasarkan grafik $fx$, tampak bahwa $f-2 = -2.$ Di titik $-2, -2$, terdapat garis singgung dengan kemiringan gradien $m = \dfrac{-2}{2} = -1$. Ini berarti $f'-2 = -1$ karena turunan pertama fungsi di suatu titik merupakan gradien garis singgung grafik fungsi di titik tersebut. Oleh karena itu, berdasarkan aturan rantai, kita peroleh $\begin{aligned} hx & = f \circ fx = ffx \\ \implies h'x & = f'fx \cdot f'x \\ h'-2 & = f'f-2 \cdot f'-2 \\ & = f'-2 \cdot f'-2 \\ & = -1 \cdot -1 = 1. \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{h'-2 = 1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 28 Perhatikan grafik fungsi $fx$ dan $gx$ berikut. Jika $hx=\dfrac{fx}{gx}$, maka nilai dari $h'1 = \cdots \cdot$ A. $-6$ C. $-2$ E. $2$ B. $-3$ D. $1$ Pembahasan Grafik fungsi $fx$ yang memuat $x = 1$ adalah garis lurus yang melalui titik $0, 8$ dan $4, 0$. Persamaan garisnya adalah $\begin{aligned} 8x + 4y & = 8 \cdot 4 \\ 2x + y & = 8 \\ fx & = y = -2x + 8. \end{aligned}$ Untuk $x = 1$, diperoleh $f1 = -21+8 = 6.$ Turunan pertama $fx$ adalah $f'x = -2$ sehingga $f'1 = -2.$ Grafik fungsi $gx$ yang memuat $x = 1$ adalah garis lurus yang melalui titik $0, 0$ dan $6, 8$. Persamaan garisnya adalah $gx = y = \dfrac86x = \dfrac43x.$ Untuk $x = 1$, diperoleh $g1 = \dfrac43$. Turunan pertama $gx$ adalah $g'x = \dfrac43$ sehingga $g'1 = \dfrac43.$ Diketahui $hx= \dfrac{fx}{gx}$. Dengan menggunakan aturan hasil bagi, diperoleh turunan pertama $hx$, yaitu $h'x = \dfrac{f'x \cdot gx-fx \cdot g'x}{gx^2}.$ Substitusi $x = 1$. $\begin{aligned} h'1 & = \dfrac{f'1 \cdot g1-f1 \cdot g'1}{g1^2} \\ & = \dfrac{-2 \cdot \dfrac43-6 \cdot \dfrac43}{\left\dfrac43\right^2} \\ & = \dfrac{-\dfrac83-8}{\dfrac{16}{9}} \\ & = -\dfrac{\cancelto{2}{32}}{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\cancelto{3}{9}}{\cancel{16}} \\ & = -2 \cdot 3 = -6 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{h'1 = -6}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 29 Jarak yang ditempuh dalam $t$ dari suatu partikel dinyatakan dengan rumus $st = t^3+2t^2+t+1$. Pada saat kecepatan partikel tersebut $21$, maka percepatannya adalah $\cdots \cdot$ A. $10$ C. $16$ E. $20$ B. $12$ D. $18$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} st & = t^3+2t^2+t+1 \\ vt & = 21 \end{aligned}$ Karena fungsi kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak, diperoleh $\begin{aligned} s't & = vt \\ 3t^2+4t+1 & = 21 \\ 3t^2+4t-20 & = 0 \\ 3t+10t-2 & = 0 \\ \therefore t = -\dfrac{10}{3}~\text{atau}&~t = 2. \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $t$ mewakili besaran waktu sehingga tidak mungkin bertanda negatif. Oleh karenanya, diambil $t = 2$. Fungsi percepatan $at$ merupakan turunan kedua dari fungsi jarak, atau turunan pertama dari fungsi kecepatan sehingga $\begin{aligned} at & = v't = 6t + 4 \\ \text{Subs}&\text{titusi}~t = 2 \\ a2 & = 62+4=16 \end{aligned}$ Jadi, percepatan partikel itu adalah $\boxed{16}$ Jawaban C [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Carilah turunan pertama fungsi berikut ini. $fx=x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}}$ Pembahasan Ada $2$ alternatif untuk menyelesaikan persoalan ini. Cara 1 Menyatakan dalam bentuk pangkat Nyatakan rumus fungsinya dalam bentuk yang lebih sederhana dengan menggunakan sifat-sifat eksponen. Cara 2 Menggunakan formula Jika $fx = ax^p \sqrt[m]{x^n}$ dengan $p>1$, $m > n$, dan $m,n$ bilangan positif, maka turunan fungsi itu adalah $\boxed{f'x = \dfrac{apm+n}{m}x^{p-1} \sqrt[m]{x^n}}$ Cara 1 Menyatakan dalam bentuk pangkat $\begin{aligned} fx & =x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = x^6 \cdot x^{5/7} \cdot x^{\frac{3}{7 \times 5}} \cdot x^{\frac{1}{7 \times 5 \times 2}} \\ & = x^6 \cdot x^{5/7} \cdot x^{3/35} \cdot x^{1/70} \\ & = x^{6+5/7+3/35+1/70} \\ & = x^{420/70+50/70+6/70+1/70} \\ & = x^{477/70} \\ f'x & = \dfrac{477}{70}x^{477/70-1} \\ & = \dfrac{477}{70}x^{407/70} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5 \cdot x^{57/70} \\ & =\dfrac{477}{70}x^5 \cdot x^{5/7 + 3/35 + 1/70} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \end{aligned}$ Cara 2 Menggunakan Formula $$\begin{aligned} fx & =x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = \dfrac{[6 \times 7 + 5 \times 5 + 3] \times 2 + 1}{7 \times 5 \times 2}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $fx = 4x+34-x^2$. Buktikan bahwa $\dfrac{\text{d}fx}{\text{d}x} = -26x^2+x-8.$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x+34-x^2$ $= 16x-4x^3+12-3x^2.$ Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama dari $fx$ adalah $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}fx}{\text{d}x} & = 161x^0-43x^2+0-32x^1 \\ & = 16-12x^2-6x \\ & = -26x^2+3x-8. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\dfrac{\text{d}fx}{\text{d}x} = -26x^2+x-8}$ [collapse] Soal Nomor 3 Diberikan fungsi $fx=ax^2+bx+c$. Jika $f'0 = 2$, $f'1 = 4$, dan $f2=6$, carilah nilai $a, b$, dan $c$. Pembahasan Diketahui $fx=ax^2+bx+c.$ Turunan pertamanya adalah $f'x = 2ax + b.$ Karena $f'0 = 2$, kita peroleh $2a\color{red}{0}+b = 2 \Leftrightarrow b = 2.$ Karena $f'1 = 4$ dan $b=2$, kita peroleh $\begin{aligned} 2a\color{red}{1}+\color{blue}{2} & = 4 \\ 2a & = 2 \\ a & = 1. \end{aligned}$ Karena $f2 = 6$, serta $a = 1$ dan $b = 2,$ kita peroleh $\begin{aligned} fx & = ax^2+bx+c \\ \implies f2 & = 12^2+22+c \\ 6 & = 4+4+c \\ c & = 6-8 = -2. \end{aligned}$ Jadi, nilai $a,b,c$ berturut-turut adalah $\boxed{1, 2, -2}$ [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui $fx = ax^3+bx^2+cx+d$, $f-1=4$, $f1 = 0$, $f'-1=0$, dan $f'0 = -3$. Hitunglah nilai-nilai berikut ini. a. $a, b, c$, dan $d$. b. $f'1$ dan $f’\left-\dfrac23\right$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $fx = ax^3+bx^2+cx+d.$ Karena $f'0 = -3$ di mana $f'x$ menyatakan turunan pertama $fx$, dapat ditulis $\begin{aligned} f'x & = 3ax^2+2bx+c \\ f'0 & = 3a0^2+2b0+c \\ -3 & = c. \end{aligned}$ Sekarang, $fx = ax^3+bx^2-3x+d.$ Untuk $f-1=4$, kita peroleh $$\begin{aligned} a-1^3+b-1^2-3-1+d & = 4 \\ -a+b+3+d & = 4 \\ -a+b+d & = 1 && \cdots 1 \end{aligned}$$Untuk $f1 = 0$, kita peroleh $$\begin{aligned} a1^3+b1^2-31+d & = 0 \\ a+b-3+d & = 0 \\ a+b+d & = 3 && \cdots 2 \end{aligned}$$Eliminasi $b$ dan $d$ pada Persamaan $1$ dan $2$ di atas sehingga diperoleh $a = 1$. Sekarang, $fx = x^3+bx^2-3x+d$ dan $f'x = 3x^2+2bx-3$. Karena $f'-1 = 0$, diperoleh $\begin{aligned} 3-1^2 + 2b-1-3 & = 0 \\ 3-2b-3 & = 0 \\ b & = 0. \end{aligned}$ Substitusi nilai $b = 0$ dan $a = 1$ pada persamaan $a+b+d = 3$. $1+0+d = 3 \Leftrightarrow d = 2$ Jadi, nilai $a,b,c,d$ berturut-turut adalah $1, 0, -3, 2.$ Jawaban b Diketahui $fx = x^3-3x+2$ sehingga $f'x = 3x^2-3.$ Dengan demikian, $f'1 = 31^2-3 = 3-3 = 0$ dan $\begin{aligned} f’\left-\dfrac23\right & = 3\left-\dfrac23\right^2-3 \\ & = -\dfrac43-3 \\ & =-\dfrac53 \end{aligned}$ [collapse] Soal Nomor 5 Diberikan $fx = x^4+ax^2+b$. Carilah nilai $a$ dan $b$ agar $f1-1=f'1-2=0.$ Pembahasan Diketahui $fx=x^4+ax^2+b.$ Turunan pertama dari $fx$ adalah $f'x=4x^3+2ax.$ Karena $f1-1 = 0$, diperoleh $\begin{aligned} 1^4+a1^2 + b-1 & = 0 \\ 1+a+b-1 & = 0 \\ a + b & = 0* \end{aligned}$ Karena $f'1-2=0$, diperoleh $\begin{aligned} 41^3+2a1-2 & = 0 \\ 4+2a-2 & = 0 \\ 2a & = -2 \\ a & = -1. \end{aligned}$ Didapat $\boxed{a=-1}$. Dari $*$, kita peroleh bahwa $\boxed{b = 1}$ [collapse] Soal Nomor 6 Diketahui $gx=ax^2+bx+c$. Carilah nilai $a, b$, dan $c$ yang memenuhi sistem persamaan berikut ini. $g0 = 0$ dan $x+1g'x-2gx+4=0$ Pembahasan Diketahui $gx=ax^2+bx+c.$ Karena $g0=0$, diperoleh $a0^2+b0+c = 0 \Leftrightarrow c = 0.$ Jadi, $gx = ax^2+bx$ sehingga turunan pertamanya adalah $g'x = 2ax + b$. Dari $x+1g'x-2gx+4=0$, kita peroleh $$\begin{aligned} x+12ax+b-2ax^2+bx+4 & = 0 \\ \cancel{2ax^2}+bx+2ax+b-\cancel{2ax^2}-2bx+4 & = 0 \\ -bx+2ax+b+4 & = 0 \\ -b+2ax + b+4 & = 0 \end{aligned}$$Di ruas kiri, terdapat variabel $x$ dengan koefisien $-b+2a$ serta konstanta $b+4$, sedangkan di ruas kanan hanya ada konstanta $0$. Jika kita samakan, kita peroleh $\begin{cases} -b+2a & = 0 && \cdots 1 \\ b+4 & = 0 && \cdots 2 \end{cases}$ Dari Persamaan $2$, diperoleh $b = -4.$ Substitusi $b=-4$ pada Persamaan $1.$ $\begin{aligned} -\color{red}{b}+2a & = 0 \\ -\color{red}{-4}+2a & = 0 \\ 4+2a & = 0 \\ a & = -2 \end{aligned}$ Jadi, nilai $a, b, c$ berturut-turut adalah $\boxed{-2, -4, 0}$ [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit Soal Nomor 7 Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real sedemikian sehingga jumlahnya $8$, tentukan nilai maksimum dan minimum dari $a^3+b^3.$ Pembahasan Diketahui $a+b=8$, ekuivalen dengan $a = 8-b.$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} a^3+b^3 & = 8-b^3+b^3 \\ & = 512-192b+24b^2-\cancel{b^3}+\cancel{b^3} \\ & = 24b^2-192b+512. \end{aligned}$$Misalkan $fb = 24b^2-192b+512$. Ini merupakan fungsi kuadrat yang terbuka ke atas seperti huruf U, artinya memiliki nilai minimum. Untuk mencari nilai minimum, buat $f'b = 0$, lalu tentukan nilai $b$. $\begin{aligned} f'b & = 0 \\ \Rightarrow 48b-192 & = 0 \\ 48b & = 192 \\ b & = 4 \end{aligned}$ Karena $b=4$, haruslah $a = 4.$ Jadi, nilai minimum dari $a^3+b^3$ tercapai ketika $a = b = 4$, yaitu $\boxed{4^3+4^3=128}$ Sementara itu, nilai maksimum dari $a^3+b^3$ tidak ada karena tidak terbatas di atas. Catatan Nilai maksimum dari $a^3+b^3$ BUKAN takhingga. [collapse] Turunan fungsi trigonometri merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari pada jenjang SMA, tepatnya di kelas XI. Berikut ini kami sajikan soal-soal yang berkaitan dengan materi turunan fungsi trigonometri, yang disertai dengan pembahasan. Soal dan PembahasanNomor 1Tentukan , jika diketahui .PembahasanMisalkan $fx = \sin x$, sehingga $$f\textcolor{maroon}{x+h} = \sin \textcolor{maroon}{x+h}$$ Berdasarkan definisi turunan fungsi, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= f'x \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\textcolor{green}{fx+h}-\textcolor{blue}{fx}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\textcolor{green}{\sin x+h}-\textcolor{blue}{\sin x}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h-\sin x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h-\sin x+\cos x \sin h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h-1+\cos x \sin h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h-1}{h}+\lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h}{h} \\ &= \sin x \cdot \textcolor{red}{\lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}}+\cos x \cdot \textcolor{red}{\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}} \end{aligned}$$ Karena $$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}=0 \quad \text{dan} \quad \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$$ maka $$\begin{aligned} f'x &= \sin x \cdot \textcolor{red}{0}+\cos x \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 0+\cos x \\ &= \cos x \end{aligned}$$Nomor 2Tentukan , jika diketahui .PembahasanMisalkan $fx = \cos x$, sehingga $$f\textcolor{maroon}{x+h} = \cos \textcolor{maroon}{x+h}$$ Berdasarkan definisi turunan fungsi, diperoleh $$\begin{aligned} f'x &= \lim_{h \to 0} \frac{\textcolor{green}{fx+h}-\textcolor{blue}{fx}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\textcolor{green}{\cos x+h}-\textcolor{blue}{\cos x}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h-\sin x \sin h-\cos x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h-\cos x-\sin x \sin h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h-1-\sin x \sin h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h-1}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\sin x \sin h}{h} \\ &= \cos x \cdot \textcolor{red}{\lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}}-\sin x \cdot \textcolor{red}{\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}} \end{aligned}$$ Karena $$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}=0 \quad \text{dan} \quad \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$$ maka $$\begin{aligned} f'x &= \cos x \cdot \textcolor{red}{0}-\sin x \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 0-\sin x \\ &= -\sin x \end{aligned}$$Nomor 3Tentukan hasil dari .PembahasanPertama, nyatakan $\tan x$ sebagai hasil bagi antara $\sin x$ dan $\cos x$. $$D_x \tan x = D_x \left \frac{\sin x}{\cos x} \right$$ Berdasarkan aturan pembagian pada turunan, diperoleh $$\begin{aligned} D_x \tan x &= D_x \left \frac{\textcolor{blue}{\sin x}}{\textcolor{green}{\cos x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{blue}{\sin x} \cdot \textcolor{green}{\cos x} - \textcolor{blue}{\sin x} \cdot D_x \textcolor{green}{\cos x}}{\textcolor{green}{\cos x}^2} \\ &= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x -\sin x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \\ &= \sec^2 x \end{aligned}$$Nomor 4Tentukan hasil dari .PembahasanPertama, nyatakan $\csc x$ sebagai kebalikan dari $\sin x$. $$D_x \csc x = D_x \left \frac{1}{\sin x} \right$$ Berdasarkan aturan pembagian pada turunan, diperoleh $$\begin{aligned} D_x \csc x &= D_x \left \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{green}{\sin x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{\sin x} - \textcolor{blue}{1} \cdot D_x \textcolor{green}{\sin x}}{\textcolor{green}{\sin x}^2} \\ &= \frac{0 \cdot \sin x - 1 \cdot \cos x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{0-\cos x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{-\cos x}{\sin x \cdot \sin x} \\ &= - \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \\ &= - \csc x \cdot \cot x \end{aligned}$$Nomor 5Tentukan hasil dari .PembahasanPertama, nyatakan $\sec x$ sebagai kebalikan dari $\cos x$. $$D_x \sec x = D_x \left \frac{1}{\cos x} \right$$ Berdasarkan aturan pembagian pada turunan, diperoleh $$\begin{aligned} D_x \sec x &= D_x \left \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{green}{\cos x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{\cos x} - \textcolor{blue}{1} \cdot D_x \textcolor{green}{\cos x}}{\textcolor{green}{\cos x}^2} \\ &= \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot - \sin x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{0+\sin x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\sin x}{\cos x \cdot \cos x} \\ &= \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \sec x \cdot \tan x \end{aligned}$$Nomor 6Tentukan hasil dari .PembahasanPertama, nyatakan $\cot x$ sebagai hasil bagi antara $\cos x$ dan $\sin x$. $$D_x \cot x = D_x \left \frac{\cos x}{\sin x} \right$$ Berdasarkan aturan pembagian pada turunan, diperoleh $$\begin{aligned} D_x \cot x &= D_x \left \frac{\textcolor{blue}{\cos x}}{\textcolor{green}{\sin x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{blue}{\cos x} \cdot \textcolor{green}{\sin x} - \textcolor{blue}{\cos x} \cdot D_x \textcolor{green}{\sin x}}{\textcolor{green}{\sin x}^2} \\ &= \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{-\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{-1}{\sin^2 x} \\ &= -\csc^2 x \end{aligned}$$Nomor 7Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan penjumlahan pada turunan, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x\textcolor{red}{2\sin x}+\textcolor{blue}{3\cos x} \\ &= D_x\textcolor{red}{2 \sin x}+D_x\textcolor{blue}{3\cos x} \\ &= 2\cdot D_x \sin x+3 \cdot D_x \cos x \\ &= 2 \cdot \cos x + 3 \cdot -\sin x \\ &= 2\cos x-3\sin x \end{aligned}$$Nomor 8Tentukan , jika diketahui .PembahasanMisalkan $u = \sin x$, sehingga $y=u^2$. Turunan dari kedua fungsi ini adalah $$\begin{aligned} &u = \sin x &&\Longrightarrow \quad \frac{du}{dx} = \cos x \\ &y = u^2 &&\Longrightarrow \quad \frac{dy}{du} = 2u \end{aligned}$$ Berdasarkan Aturan Rantai diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= \frac{dy}{dx} \\ &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\ &= 2 \textcolor{blue}{u} \cdot \cos x \\ &= 2 \textcolor{blue}{\sin x} \cos x \end{aligned}$$Nomor 9Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan penjumlahan, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x\cos^2 x + \sin^2 x \\ &= \textcolor{red}{D_x\cos^2 x} + \textcolor{blue}{D_x \sin^2 x} \end{aligned}$$ Hasil dari $\textcolor{red}{D_x\cos^2 x}$ dan $\textcolor{blue}{D_x \sin^2 x}$ dapat dihitung menggunakan Aturan Rantai. $$\begin{aligned} D_xy &= \textcolor{red}{2 \cos x -\sin x} + \textcolor{blue}{2\sin x \cos x} \\ &= -2\sin x\cos x + 2 \sin x \cos x \\ &= 0 \end{aligned}$$ Cara yang lebih mudah adalah memanfaatkan identitas trigonometri $\cos^2x+\sin^2x=1$. $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \textcolor{teal}{\cos^2 x + \sin^2 x} \\ &= D_x \textcolor{teal}{1} \\ &= 0 \end{aligned}$$Nomor 10Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan pengurangan, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x1-\sin^2 x \\ &= \textcolor{red}{D_x1}-\textcolor{blue}{D_x \sin^2 x} \\ &= \textcolor{red}{0}-\textcolor{blue}{2\sin x\cos x} \\ &= -2\sin x\cos x \end{aligned}$$Nomor 11Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan pembagian, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \left \frac{\textcolor{blue}{\sin x+\cos x}}{\textcolor{green}{\cos x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{blue}{\sin x+\cos x} \cdot \textcolor{green}{\cos x} - \textcolor{blue}{\sin x+\cos x} \cdot D_x \textcolor{green}{\cos x}}{\textcolor{green}{\cos x}^2} \\ &= \frac{\cos x-\sin x \cdot \cos x-\sin x+\cos x-\sin x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x-\textcolor{red}{\sin x\cos x} + \sin^2 x + \textcolor{red}{\sin x\cos x}}{\cos^2x} \\ &= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \\ &= \sec^2x \end{aligned}$$Nomor 12Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan perkalian, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \textcolor{red}{\sin x}\textcolor{blue}{\cos x} \\ &= D_x \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot D_x \textcolor{blue}{\cos x} \\ &= \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot -\sin x \\ &= \cos^2 x-\sin^2 x \end{aligned}$$Nomor 13Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan perkalian, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \textcolor{red}{\sin x} \textcolor{blue}{\tan x} \\ &= D_x \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{\tan x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot D_x \textcolor{blue}{\tan x} \\ &= \cos x \cdot \tan x + \sin x \cdot \sec^2 x \\ &= \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \\ &= \sin x+\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} \\ &= \sin x + \tan x \sec x \end{aligned}$$Nomor 14Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan pembagian, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \left \frac{\textcolor{red}{\sin x}}{\textcolor{blue}{x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{x}-\textcolor{red}{\sin x} \cdot D_x \textcolor{blue}{x}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \frac{\cos x \cdot x-\sin x \cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \end{aligned}$$Nomor 15Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan perkalian, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \textcolor{red}{x^2} \textcolor{blue}{\cos x} \\ &= D_x \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} + \textcolor{red}{x^2} \cdot D_x \textcolor{blue}{\cos x} \\ &= 2x \cdot \cos x + x^2 \cdot -\sin x \\ &= 2x\cos x-x^2\sin x \end{aligned}$$Nomor 16Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan rantai, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \tan^2 x \\ &= 2\tan x \cdot \textcolor{blue}{D_x \tan x} \\ &= 2\tan x \cdot \textcolor{blue}{\sec^2 x} \end{aligned}$$Nomor 17Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan rantai, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \sec^3 x \\ &= 3\sec^2 x \cdot \textcolor{blue}{D_x \sec x} \\ &= 3\sec^2 x \cdot \textcolor{blue}{\sec x \tan x} \\ &= 3\sec^3 x \tan x \end{aligned}$$Nomor 18Gunakan identitas trigonometri dan aturan perkalian, untuk menentukan .PembahasanBerdasarkan identitas trigonometri $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ dan aturan perkalian, diperoleh $$\begin{aligned} D_x \sin 2x &= D_x 2\sin x\cos x \\ &= 2 \cdot D_x \textcolor{red}{\sin x}\textcolor{blue}{\cos x} \\ &= 2 \cdot [D_x\textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot D_x \textcolor{blue}{\cos x}] \\ &= 2 \cdot [\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot -\sin x] \\ &= 2 \cdot [\cos^2 x-\sin^2 x] \\ &= 2 \cos 2x \end{aligned}$$ Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri? mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian…. Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya…. dimana $f’ x = \underset{h\rightarrow 0}{lim}\\frac{fx + h - fx}{h}$ maka Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus $fx = sin\x $ maka $f’x= cos\x$ $fx = cos\x $ maka $ f’x= - sin\x$ $fx = maka $f’x= $fx = maka $f’x= contoh $\fx= 3cos\x$ maka $f’x=-3sin\x$ $\fx=2sin\5x$ maka $f’x=10cos\5x$ $\fx= \begin{array}{rcl}f’x & = & {-4}. & = & {-12}.sin3x+\pi\end{array} Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this…. $\fx=sec\x$ tentukan $f x$ ! Jawab \begin{array}{rcl}fx & = & sec\x\\ & = & \frac{1}{cos\x}\end{array} \begin{array}{lcl}u=1 & maka & u’=0\\ v=cos\x & maka & v’=-sin\x\end{array} \begin{align*}f’x & = & \frac{u’.v-v’.u}{v^2}\\ & = & \frac{ & = & \frac{sin\x}{cos^2\x}\\ & = & \frac{sin\x}{cos\x}.\frac{1}{cos\x}\\ & = & tan\ $\fx=x^2+2.sin\x$ tentukan $f x$ ! Jawab \begin{array}{lcl}u=x^2+2& maka & u’=2x\\v=sin\x & maka & v’=cos\x\end{array} \begin{array}{rcl}f’x & = & u’.v+v’.u\\ & = & & = & 2x\sin\x+x^ Turunan ke-n Diberikan fungsi $fx$, maka turunan pertama dari $fx$ adalah $f’ x$ ; turunan kedua dari $fx$ adalah $f’’ x$ ; turunan ketiga dari $fx$ adalah $f’’’ x$ dst. $\fx=4x^ tentukan turunan kedua dari $fx$! Jawab kita cari turunan pertama dulu ya.. \begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u’=8x\\ v=cos\x & maka & v’=-sin\x\end{array} \begin{array}{rcl}f’x & = & u’.v+v’.u\\ & = & & = & perhatikan untuk $f’x= mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku $f x$ adalah a dan b dimana $f x = a – b$ untuk mencari turunan kedua akan berlaku $f ”x = a’ – b’$ mari kita cari turunan masing-masing suku… ambil suku pertama dari $f x$ kita misalkan $a= \begin{array}{lcl}u=8x & maka & u’=8\\ v=cos\x & maka & v’=-sin\x\end{array} \begin{array}{rcl}a’ & = & u’.v+v’.u\\ & = & & = & ambil suku kedua dari $f x$ kita misalkan $b=4x^ \begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u’=8x\\ v=sin\x & maka & v’=cos\x\end{array} \begin{array}{rcl}b’ & = & u’.v+v’.u\\ & = & & = & nah, kembali ke $f’x=a’-b’$ \begin{array}{rcl}f x & = & a’-b’\\ & = & & = & & = & selesai,deh…..coba yang lain yuk! $\fx= tentukan turunan ke-empat dari $fx$ ! Jawab $fx= mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga $f x = a + b $ cari turunan masing-masing suku dulu ya… $a= \begin{array}{lcl}u=x & maka & u’=1\\ v=cos\x & maka & v’=-sin\x\end{array} \begin{array}{rcl}a’ & = & u’.v+v’.u\\ & = & & = & cos\ $b=sin\x$ maka $b’=cos\x$ \begin{array}{rcl}f’x & = & a’+b’\\ & = & cos\ & = & $f’x= mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga $f ”x = c – d $ $c= maka $c’= $d= \begin{array}{lcl}u=x & maka & u’=1\\ v=sin\x & maka & v’=cos\x\end{array} \begin{array}{rcl}d’ & = & u’.v+v’.u\\ & = & & = & sin\x+ \begin{array}{rcl}f’x& = & c’-d’\\ & = & & = & {-2}.sin\x-sin\ & = & {-3}.sin\ $f’x= mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas $a= maka $a’=cos\ sehingga \begin{array}{rcl}f’’x & = & {-3}.cos\x-cos\ & = & {-3}.cos\x-cos\x+ & = & {-4}.cos\x+ $f’’x={-4}.cos\x+ mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas $d= maka $d’=sin\x+ sehingga \begin{array}{rcl}f’’’x & = & {-4}.-sin\x+sin\x+ & = & {4}.sin\x+sin\x+ & = & {5}.sin\x+ waaaaah…..selesai !!!! begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..coba sendiri dengan soal yang lain yah…!! ada yang bertanya soal seperti ini Jika diketahui $y=sin\x$ buktikan bahwa turunan ke-n yaitu $y^n=sinx+\frac{\pi}{2}.n$ ! Jawab ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran $y=sin\x$ $y’=cos\x$ $=\sin\frac{\pi}{2}+x$ $=\sinx+\frac{\pi}{2}.1$ $y’’=-sin\x$ $=\sin{\pi}+x$ $=\sinx+\frac{\pi}{2}.2$ $y’’’=-cos\x$ $=\sin\frac{3.\pi}{2}+x$ $=\sinx+\frac{\pi}{2}.3$ $y’’’=sin\x $ $=\sin{2.\pi}+x$ $=\sinx+\frac{\pi}{2}.4$ … … … … … … dst dst dst sehingga $\large y^n=\sinx+\frac{\pi}{2}.n$ terbukti Untuk contoh latihan soal dan pembahasannya di Soal 3 Turunan Trigonometri yah…. Pengertian Turunan Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Pada fungsi y = fx, turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan atau atau y’ dan didefinisikan sebagai Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar Dengan definisi turunan akan dicari rumus-rumus turunan fungsi aljabar yang terdiri dari fungsi pangkat , hasil kali fungsi fx = ux . vx, hasil pembagian fungsi , dan pangkat dari fungsi . 1. Rumus turunan fungsi pangkat Fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus sebagai Jadi rumus turunan fungsi pangkat adalah 2. Rumus turunan hasil kali fungsi Fungsi fx yang terbentuk dari perkalian fungsi ux dan vx, turunannya didapat dengan Jadi rumus turunan fungsinya adalah 3. Rumus turunan fungsi pembagian sehingga Jadi rumus turunan fungsinya adalah 4. Rumus turunan pangkat dari fungsi Ingat jika , maka Karena , maka Atau Jadi rumus turunan fungsinya adalah Rumus-rumus Turunan Trigonometri Dengan menggunakan definisi turunan, dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri berikut dengan u dan v masing-masing fungsi dari x Aplikasi Turunan 1. Menentukan gradien garis singgung suatu kurva Gradien garis singgung m pada suatu kurva y = fx dirumuskan sebagai Persamaan garis singgung pada suatu kurva y = fx di titik singgung dirumuskan sebagai 2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun 3. Menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya Jika fungsi y = fx kontinu dan diferensiabel di x = a dan f'x = 0, maka fungsi memiliki nilai statisioner di x = a. Jenis nilai stasioner dari fungsi y = fx dapat berupa nilai balik minimum, nilai balik maksimum, atau nilai belok. Jenis nilai stasioner ini bisa ditentukan dengan menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut. Jika dan , maka adalah nilai balik maksimum dari fungsi y = fx dan titik adalah titik balik maksimum dari kurva y = fx. Jika dan , maka adalah nilai balik minimum dari fungsi dan titik adalah titik balik minimum dari kurva y = fx. Jika dan , maka adalah nilai belok dari fungsi y = fx dan titik adalah titik belok dari kurva y = fx. 4. Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu atau Jika merupakan limit berbentuk tak tentu atau , maka penyelesaiannya dapat menggunakan turunan, yaitu fx dan gx masing-masing diturunkan. Jika dengan turunan pertama sudah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu adalah penyelesaiannya. Tetapi jika dengan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing-masing fx dan fx diturunkan lagi sampai diperoleh hasil berbentuk tertentu. Cara penyelesaian seperti ini disebut Dalil L’hopital. 5. Menentukan rumus kecepatan dan percepatan Jika rumus atau persamaan posisi gerak suatu benda sebagai fungsi waktu diketahui yaitu s = ft, maka rumus kecepatan dan kecepatannya dapat ditentukan yaitu Contoh Soal Turunan Fungsi dan Pembahasan Contoh Soal 1 – Turunan Fungsi Aljabar Turunan pertama dari adalah Pembahasan 1 Soal ini merupakan fungsi yang berbentuk y = yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus . Maka Sehingga turunannya Contoh Soal 2 – Turunan Fungsi Trigonometri Tentukan turunan pertama dari Pembahasan 2 Untuk menyelesaikan soal ini menggunakan rumus campuran yaitu dan juga . Sehingga Contoh Soal 3 – Aplikasi Turunan Tentukan nilai maksimum dari pada interval -1 ≤ x ≤ 3. Pembahasan 3 Ingat syarat nilai fungsi fx maksimum adalah dan maka dan dan Kontributor Alwin Mulyanto, Alumni Teknik Sipil FT UI Materi lainnya Fungsi Kuadrat Matriks Persamaan Kuadrat

soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri